良葛格 - 從40個判斷式到1個算式

本文轉載自 IThome，作者林信良。

在程式開發領域，手中如果能有多種工具，如此面對不同問題，才能使用最適合工具加以解決。

若要算出 1 加到 100 總和，該怎麼做呢？學過程式的人，八成會寫個 for 迴圈跑 1 到 100，重複進行加總來解決問題；現在函數式比較有人討論了，那來個遞迴好了，將目前數字與後續數字總和做相加，看來似乎比較高級；至於經常以數學思維來處理問題的人，則會告訴你 1 加 100 後乘以 100 再除以 2。

還有其他的思考方式嗎？

從 40 個判斷式開始：蠻力解法的陷阱

不久前在玩機器人積木，設計了個類似吉他的東西，打算用左手三個觸碰感應器區分八個狀態，在每個狀態下，右手可按下主機上五個按鈕各發出一個音階，也就是說，想設計出一個可以發出 40 個音階的樂器，其實可以再多一個觸碰感應器，以發出更多音階，不過，我先停下來思考一個問題，按照這樣設計，也表示觸碰感應器加上主機按鈕，總共會有 40 個可能的組合方式，該如何判斷狀態？

最基本的方式，就是建立 40 個 if 分支判斷，這方法行不通，光是建立 40 個分支這個過程就夠嚇人了，更何況，如果打算再多個觸碰感應器，就得再多出 40 個分支，才能讓樂器變成可以發出 80 個音階，稍微了解程式設計的開發者，都知道這種寫法完全就是個反模式，一定還有其他方式！

建立一個 40 個元素的陣列如何？陣列值為 01、02、03、04、05，表示未按任何觸控感應器下，各按下主機其中之一按鈕的情況，如果按下一個觸控感應器，就用 11、12、13、14、15 來代表主機各按鈕被按下，這麼一來，三個觸碰感應器可當成 2 進位數字，並轉換出 0 到 7 的 10 進位值，主機按鈕算出 1 到 5 的值，如此可跑迴圈，對應到陣列中某個元素值，如果每個元素值之後接上頻率，例如 01261626，去掉前兩位再除以 1000，那就是 261.626，也就是 Do 音階頻率。

這表示，我可以將 40 個判斷式，改用 40 個元素的陣列取代，如果要再多個觸碰感應器，那就是在陣列中追加 40 個元素，每個元素值之後同樣附上各音階頻率，追加陣列元素值是比追加 if 分支判斷來得簡單一些，只是得查出各音階頻率，仔細地附加到每個元素值之後，這滿麻煩的。

不過，我還是打開了瀏覽器，鍵入了「音階頻率」開始搜尋，在維基百科「音高」條目上找出「音高頻率表」，過程中，卻順手點進去看了一下「十二平均律」條目，不久，40 個元素的陣列就被拋棄了，只留下一個算式。

十二平均律的威力：一個音樂理論，解決一個程式問題

會被十二平均律條目吸引，在於最近接觸樂器，印象中看過幾次這個名稱。簡單來說，就是將一個八度（像是 Do、Re、Mi 到下個高音 Do）平均分成十二等份，每等分為一個半音，至於十二等分的劃分方式不是等差級數，而是等比級數，在十二平均律中，每個音頻率為前一個音的 2 的 12 次方根，約為 1.059463。例如，如果 Do 音為 261.626，那麼下個半音就是 261.626 乘上 1.059463，也就是 277.183（升 Do），再下個半音就是 261.626 × 1.059463 × 1.059463 = 293.665，也就是 Re。

對這個樂器小程式來說，單只是知道這樣就足夠了，之前設計的陣列元素 01、02、03、04、05、11、12……到 71、72、73、74、75，各可以對應到一個頻率，實際上，陣列元素換算過來 10 進位就是 1 到 40，一個觸碰感應器輸出值是 0 與 1，主機按鈕輸出值是 1 到 5，如果三個觸碰感應器輸出是 a、b、c，主機按鈕輸出是 d，換算公式就是 (a+b×2+c×4)×5+d，若結果為 n，且以頻率 261.626 開始，之後各個音的頻率就是 1.059463 的 n 次方，再乘上 261.626。

這麼一來，如果要再增加一個觸碰感應器，也只要調整為 (a+b×2+c×4+d×8)×5+e，不用使用龐大 if 分支判斷，也不用辛苦地建立陣列將狀態對照至頻率。只因為了解了十二平均律，真正使得設計方向得以朝簡化、有彈性的方向改變的，並不是多高深的程式設計觀念，單單只是音樂領域中的基礎知識。

不是所有東西都是釘子：程式思維的盲點與跨領域知識的價值

有句西方諺語說：「當你手上只有錘子時，所有東西都是釘子。」這句話若拿來套用在程式開發領域，通常是指手中不要只有一種工具，像是語言、程式庫或框架等，如此面對不同問題，才能使用最適合工具加以解決。

實際上，這句話可以擴大來看，擅長某領域知識的人，面對什麼事情，都會用他擅長的邏輯來處理事情，這本是好事，然而有時也會形成一種盲點，就像擅長程式設計思維的人，解決問題有時也很容易就往程式邏輯中鑽，就像一開始談到的 1 加到 100 問題。

1 加 100 後乘以 100 再除以 2 的解法，其實就是等差級數公式，首項與末項的和乘以項數除以 2，據說數學家高斯在小時候就發現這個公式，他的老師讓學生們做從 1 加到 100 的習題，大多數小孩應該都是從頭開始加，而高斯觀察到 1+100=101、2+99=101……，因而能很快說出 5050 的正確答案。

就觀察力這點，對數學家與程式人都是相當重要的能力，遇到問題時換個方向觀察規律，往往是從問題中理出頭緒的重要開始。壓縮、模式辨識等重大演算法，往往就是如此產生。

如果處理特定領域問題，更重要的，往往不是只用程式邏輯蠻幹，而是跳出既有程式領域，使用問題領域中的思維來尋求解答，這就是許多程式人所謂領域知識的重要性。1 加到 100 的總和，以迴圈來解複雜度會是 O(n)，以等差級數公式來解決則會是 O(1)；使用狀態的思維會是 40 個分支判斷，從十二平均律來解，卻只要一個算式！

一定還有其他方式！：用蒙地卡羅法求圓周率的啟示

從數學領域往其他領域看，也不乏這類例子，像是求圓周率並不是只能使用圓周長與半徑，也可透過亂數取樣模擬來解決，看看產生的數各有多少在圓內及圓外，因此導出圓周率公式，更早前還有 1777 年法國數學家 Buffon 的投針試驗（Buffon's needle），他在白紙上畫了等距平行線，並對白紙投擲長度為平行線間距一半、重量相等的針，在 2212 次投擲中，針與平行線相交 704 次，2212/704 約為 3.142，也就是圓周率近似值。

亂數取樣模擬求圓周率這類方式，稱為蒙地卡羅法（Monte Carlo method），Monte Carlo 為摩洛哥首都，也就是知名賭城，由此聯想此方式帶有賭博意味，現今則可使用電腦來產生亂數，將蒙地卡羅法應用在數值方法之中，像是計算不規則圖形的面積等。

已經有太多人呼籲過領域知識的重要性，只是每個人時間畢竟有限，不可能各個領域都能有所涉獵，更何況每個領域的專精，沒有個 5 年、10 年，也不足以成為專家。

就我這次的問題來說，也只是剛好問題夠簡單，能夠使用十二平均律，簡單地解決罷了。成為領域專家是個很迷人的目標，不過這之前，重點在於面對問題時，是否總能抱持著「一定還有其他方式」的想法——像是除了 1 加到 100 這類的問題之外，你知道費式數列也可以用數學公式來解嗎？

常見問題 FAQ

文章說「跨領域知識很重要」——孩子學程式，需要同時學音樂和數學嗎？

不需要刻意為了學程式而去學音樂或數學，但這篇文章說明的是：一個人本身擁有的各種知識和興趣，在解決程式問題時會自然發揮作用。橘子蘋果的課程設計中有一個核心理念——讓孩子做出「有意義的作品」，而不只是完成技術練習。做一個音樂遊戲、做一個數學視覺化工具，孩子在這個過程中自然會開始連接不同領域的知識。這種「跨領域的聯結力」才是真正的 21 世紀核心素養。

「40 個 if 判斷式 vs. 1 個算式」——這個概念對小孩有意義嗎？

這是程式設計裡最重要的思維之一：能不能找到更聰明的解法，而不是用蠻力硬解？這個思維對各年齡層都有意義。橘子蘋果的 Scratch 課讓孩子學「迴圈」，就是在教他們：「不用寫 100 行重複的程式，一個迴圈就夠了。」從 Scratch 到演算法課，這條路徑的核心就是讓孩子越來越懂得「觀察規律、化繁為簡」——這和高斯發現 1+100 的規律，本質上是同一件事。

複雜度 O(n) 和 O(1) 是什麼意思？小孩需要懂嗎？

O(n) 和 O(1) 是「演算法複雜度」的概念，O(n) 表示問題越大、花的時間越多（例如從 1 加到 100 要算 100 步）；O(1) 表示不管問題多大，都只要一個步驟（例如用公式直接算出答案）。這是橘子蘋果演算法研究與應用班的核心內容，適合有程式基礎的國高中生（菁英課程第 8 階段）。年紀小的孩子不需要記住這個名詞，但理解「有些解法就是比其他解法快很多」，從 Scratch 階段就可以開始培養。

孩子學程式，什麼時候開始接觸「演算法思維」比較適合？

演算法思維的種子，可以從 Scratch 就開始種——讓孩子思考「有沒有更少步驟的方法？」但系統性地學習演算法（排序、搜尋、動態規劃、圖論等），適合有 Python 或 JavaScript 基礎的國高中生。橘子蘋果菁英課程的一條龍路徑中，第 8 階段「演算法研究與應用班」正是這個學習點；第 9 階段「AI 人工智慧班」更將演算法知識應用到機器學習場景中，讓孩子理解 AI 的底層邏輯。

「觀察規律、化繁為簡」的能力可以被刻意訓練嗎？

可以，而且這正是好的程式教育和一般補習班式教學的最大區別。一般教學讓孩子「背誦解法」；好的程式教育讓孩子「在遇到問題時，主動尋找規律」。橘子蘋果的雙師模式中，主講老師負責引導概念，助教老師個別幫孩子卡關——這不只是教語法，更是在培養孩子的「問題解決直覺」，也就是文章中所說的「面對問題時，是否總能抱持著一定還有其他方式的想法」。

這篇文章說「電腦科學的領域不僅僅是寫程式而已」，那孩子學程式的核心目標是什麼？

John MacCormick 在《改變世界的九大演算法》中說：「所有偉大的觀念，不需要會寫程式等電腦科學的知識就能解釋。」這句話點出了程式教育最深層的目標——不是訓練打字員，而是培養「計算思維」：把複雜問題拆解成步驟、尋找規律、用最簡單的方式解決問題。這種思維框架，在任何職業和生活情境中都有用。橘子蘋果每一堂課的設計，都以這個目標為核心，讓孩子「從做中學會思考」。